Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上有两点M（x1 ， y1）和N（x2 ， y2），若x1＜1，x2＞1，x1+x2＞2，试判断y1与y2的大小，并说明理由；
（3）直线l过A及C（0，﹣2），P为抛物线上一点（在x轴上方），过P作PD∥y轴交直线AC于点D，以PD为直径作⊙E，求⊙E在直线AC上截得的线段的最大长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线 y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，AB=4．

∴点 A（﹣1，0），点B（3，0）．

∴抛物线的表达式为y=﹣（x+1）（ x﹣3）

∴y=﹣x2+2x+3

（2）解：如图，

∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，

且x1＜1，x2＞1，

∴点M在直线x=1的左侧，点N在直线x=1的右侧．

∵x1+x2＞2，

∴1﹣x1＜x2﹣1，

∴点M到直线x=1的距离比点N到直线x=1的距离近，

∴y1＞y2

（3）解：∵OA=﹣1，OC=﹣2，

∴AC= ，

∵PD∥OC，

∴∠OCA=∠PDF，

∵PD是直径，

∵∠PFD=∠AOC=90°，

∴△AOC∽△PFD，

∴ = = ，

∴DF= PD，

设AC的解析式为y=kx+b，把A（0．﹣1），C（0，﹣2）代入得： ，

，

∴y=﹣2x﹣2，

设D（x，﹣2x﹣2），P（x，﹣x2+2x+3），

∴PD=﹣x2+2x+3+2x+2=﹣x2+4x+5，

∴DF= PD= ×（﹣x2+4x+5）=﹣ （x﹣2）2+ ，

∴当x=2时，DF最大= = ．

【解析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．（3）先判断出∠OCA=∠PDF进而得出△AOC∽△PFD，得出DF= PD，最后建立DF= PD= ×（﹣x2+ x+5），即可得出结论．