题目内容
【题目】如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点F,E分别以相同的速度从D,C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止),过点P作PM∥CD交BC于M点,PN∥BC交CD于N点,连接MN,在运动过程中, ①AE和BF的位置关系为;
②线段MN的最小值为 .
【答案】AE⊥BF;
【解析】解:①如图,∵动点F,E的速度相同, ∴DF=CE,
又∵CD=BC,
∴CF=BE,
在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(SAS),
∴∠BAE=∠CBF,AE=BF,
∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠CBF+∠BEA=90°,
∴∠APB=90°,
∴AE⊥BF,②∵点P在运动中保持∠APB=90°,
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧,
设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小,
在Rt△BCG中,CG= = = ,
∵PG= AB= ,
∴CP=CG﹣PG= ﹣ = ,
即线段CP的最小值为 ,
所以答案是AE⊥BF, .
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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