Question

已知抛物线，
（1）若求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若 ，证明抛物线与x轴有两个交点；
（3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值.

Answer 1

（1）（-1，0）和（，0）；（2）证明见解析；（3）3或．

试题分析：（1）将a、b、c的值代入，可得出抛物线解析式，从而可求解抛物线与x轴的交点坐标.
（2）把代入抛物线解析式，表示出方程的判别式的表达式，利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论.
（3），则抛物线可化为，其对称轴为x=-b，以-1≤x≤2为区间，讨论b的取值，根据最小值为-3，可得出方程，求出b的值即可．
（1）当时，抛物线为，
∵方程的两个根为x₁=-1，x₂=，
∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（，0）.
（2）当时，抛物线，
设y=0，则，
∴，
∴抛物线与x轴有两个交点.
（3），则抛物线可化为，其对称轴为x=-b，
当-b＜-2时，即b＞2，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，
此时-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，
解得：b=3，符合题意.
当-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，
此时-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=，不合题意，舍去．
当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时取最小值为-3，
此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化简得：b²-b-5=0，
解得：b₁=（不合题意，舍去），b₂=.
综上可得：b=3或b=．