题目内容

【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,点AD在⊙O上,∠B=2CAD,在BC的延长线上有一点P,使得∠PACB,弦AD交直径BC于点E

(1)求证:DP与⊙O相切;

(2)判断DCE的形状,并证明你的结论;

(3)若CE=2,DE,求线段BC的长度.

【答案】(1)证明见解析;(2)DCE是等腰三角形,证明见解析;(3)10.

【解析】

(1)连接OD,根据圆周角定理得到∠DOP=2DAC,等量代换得到∠COD=B,根据圆周角定理得到∠BAC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论;

(3)根据相似三角形的性质得到,于是得到OC==5,即可得到结论.

(1)连接OD

∴∠DOP2DAC

∵∠B2CAD

∴∠COD=∠B

∵∠P=∠ACB

∴∠ODP=∠BAC

BC是⊙O的直径,

∴∠BAC90°

∴∠ODP90°

DP与⊙O相切;

2DCE是等腰三角形,

理由:∵∠B=∠COD,∠BOD180°﹣∠COD,∠BAD+AEB180°﹣∠B

∴∠BOD=∠BAD+AEB

∵∠BADBOD

∴∠AEBBOD

∴∠BAD=∠AEB

∵∠DCE=∠BAE,∠CED=∠AEB

∴∠CED=∠DCE

∴△DCE是等腰三角形;

3)∵OCOD

∴∠OCD=∠ODC

DEDC

∴∠OCD=∠CED

∴∠DEC=∠DCE=∠OCD=∠ODC

∴△DCE∽△OCD

CE=2,DE

CDDE

OC5

BC2OC10

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