题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CDABH,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G,连接AGCDK.

(1)求证:KE=GE;

(2)若KG2=KDGE,试判断ACEF的位置关系,并说明理由;

(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG=

【解析】

试题(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CDAB,可以推出∠KGE=AKH=GKE,根据等角对等边得到KE=GE;

(2)ACEF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=GKE,及KG2=KDGE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出GKDEKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=AGD,可推知∠E=C,从而得到ACEF;

(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在RtOGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.

试题解析:(1)如图1,连接OG.

EG为切线,

∴∠KGE+OGA=90°,

CDAB,

∴∠AKH+OAG=90°,

又∵OA=OG,

∴∠OGA=OAG,

∴∠KGE=AKH=GKE,

KE=GE.

(2)ACEF,理由为连接GD,如图2所示.

KG2=KDGE,即

又∵∠KGE=GKE,

∴△GKD∽△EGK,

∴∠E=AGD,

又∵∠C=AGD,

∴∠E=C,

ACEF;

(3)连接OG,OC,如图3所示,

EG为切线,

∴∠KGE+OGA=90°,

CDAB,

∴∠AKH+OAG=90°,

又∵OA=OG,

∴∠OGA=OAG,

∴∠KGE=AKH=GKE,

KE=GE.

sinE=sinACH=

,设AH=3t,则AC=5t,CH=4t,

KE=GE,ACEF,

CK=AC=5t,

HK=CK-CH=t.

RtAHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2

即(3t)2+t2=(22,解得t=

设⊙O半径为r,在RtOCH中,OC=r,OH=r-3t,CH=4t,

由勾股定理得:OH2+CH2=OC2

即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= t=

EF为切线,

∴△OGF为直角三角形,

RtOGF中,OG=r=,tanOFG=tanCAH=

FG=

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