Question

已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，

BC

=

CD

，∠A=30°，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析：连接AC．利用圆周角定理、等弧所对的圆周角相等、直角三角形的两个锐角互为余角求得∠ADC=75°；然后根据圆内接四边形内角和是360°来求∠ABC的度数．

解答：解：连接AC．
∵AD是圆的直径（已知），
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵

BC

=

CD

（已知），∠A=30°（已知），
∴∠DAC=∠CAB=

1

2

∠A=15°（等弧所对的圆周角相等），
∴∠ADC=75°（直角三角形的两个锐角互为余角）；连接BD．
∴∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°；
∴在△BCD中，BC=DC，则∠BDC=∠DBC=15°；
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+15°=105°．

点评：本题综合考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．在同圆或等圆中．圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等．