题目内容

【题目】感知:如图①,在等边三角形ABC中,点D、E分别在边AC、AB上,若AE=CD,易知ACE≌△CBD.

探究:若图①中的点D、E分别在边AC、BA的延长线上时,如图②,ACE与CBD是否仍然全等?如果全等,请证明:如果不全等,请说明理由.

应用:若图②中的等边三角形ABC为等腰三角形,且AC=BC,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,点D、E分别在AC、OA的延长线上,如图③,若AE=CD,ACB=α,ADB=β,则ACE的大小为 (用含α和β的代数式表示).

【答案】感知:证明见解析;探究:证明见解析;应用:α-β

【解析】

试题分析:感知:由ABC是等边三角形,可得AC=CB,ACE=B=60°,又由BD=CE,即可证得ACE≌△CBD;

探究:根据ABC是等边三角形,得到AC=CB,A=ACB=60°,由SAS证明ACE≌△CBD.

应用:证明ACE≌△CBD,得到AEC=CDB=β,根据外角的性质得到CAB=ACE+AEC,即可解答.

试题解析:感知:∵△ABC是等边三角形,

AC=CB,CAE=B=60°,

ACE和CBD中,

∴△ACE≌△CBD(SAS).

探究:ACE与CBD是否仍然全等,

∵△ABC是等边三角形,

AC=CB,A=ACB=60°,

∴∠EAC=DCB,

ACE和CBD中,

∴△ACE≌△CBD.

应用:点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,

CO=AO,

∴∠ACB=CAO=α,

∵∠ACB+BCD=180°,EAC+CAO=180°,

∴∠EAC=DCB,

∵△ABC为等边三角形,

AC=BC,

EAC和DCB中,

∴△EAC≌△DCB,

∴∠AEC=CDB=β,

∵∠CAB=ACE+AEC,

∴∠ACE=CAB-AEC=α-β.

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