题目内容
【题目】如图1,在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°.
(1)连接AD,根据 易证△ACD≌△ ;
(2)如图2,若E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF,求证:DE=DF;
(3)如图3,在(2)的条件下,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论;
(4)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为“∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α”,G在AB上,∠EDG满足什么条件时,(3)中结论仍然成立?(只写结果不要证明).
【答案】(1)SSS,ABD;(2)证明见解析;(3)CE+BG=EG;(4)当∠EDG=90°α时,CE+BG=EG仍然成立.
【解析】
(1)根据三角形全等的判定即可解答;
(2)根据已知推出∠C=∠DBF,根据SAS证△DEC≌△DFB即可;
(3)根据△ACD≌△ABD,推出∠CDA=∠BDA=60°,推出∠GDF=60°,得出△DGF≌△DEG,推出FG=EG即可;
(4)根据(3)的证明过程,要使CE+BG=EG仍然成立,则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB,即∠EDG=
(180°α)=90°
α,据此解答即可.
解:(1)连接AD,根据SSS易证△ACD≌△ABD;
(2)∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠CAB=60°,∠CDB=120°,
∴∠C+∠ABD=180°,
∵∠ABD+∠DBF=180°,
∴∠C=∠DBF,
在△DEC和△DFB中,
,
∴△DEC≌△DFB(SAS),
∴DE=DF;
(3)CE+BG=EG,
证明:如图,连接DA,
∵△ACD≌△ABD(SSS),
∴∠CDA=∠BDA=60°,
∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°,
∴∠CDE=∠ADG,∠EDA=∠GDB,
∵∠BDF=∠CDE,
∴∠GDB+∠BDF=60°,
在△DGF和△DEG中,
,
∴△DGF≌△DEG(SAS),
∴FG=EG,
∵CE=BF,
∴CE+BG=EG.
(4)要使CE+BG=EG仍然成立,
则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB,
即∠EDG=(180°α)=90°
α,
∴当∠EDG=90°α时,CE+BG=EG仍然成立.
