Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，过点D的切线交BC边于点E．
（1）求证：点E是BC边的中点；
（2）连接OC交DE于点F，若CF=OF，求cosA的值．

Answer 1

分析：（1）可证明BE是⊙O的切线，根据DE切⊙O，由切线长定理得EB=ED，则EC=ED，从而得出答案；
（2）由已知条件得EF∥BO，则得出∠DOA=90°，根据OA=OD，求出∠A=∠ODA=45°，再计算出cosA的值．

解答：（1）证明：连接OD、BD，
∵∠ABC=90°，BA为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线，∠BDA=90°，
又∵DE切⊙O于点D，
∴EB=ED，
∴∠CBD=∠EDB，
∵∠BDA=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠EDB+∠CDE=90°，∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴EC=ED．
∴EB=EC，
即点E是BC边的中点；

（2）解：∵CF=OF，EC=EB，
∴EF∥BO，
∴∠DOB+∠EDO=180°，
∵∠EDO=90°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOA=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=45°，
∴cosA=

2

2

．

点评：本题是一道关于圆的题目，考查了锐角三角函数、切线的判定和性质，切线长定理以及平行线的判定，是基础知识要熟练掌握．