题目内容

如图，已知△ABC的周长为a，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依此类推．
（1）求第3个三角形的周长；
（2）求第n个三角形的周长；
（3）求第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比．

解：（1）由△ABC的周长为a，
连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A₁B₁C₁，
它的周长是△ABC的周长的 $\text{[math]}$ ，
由△A₁B₁C₁∽△ABC得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则第三个三角形的周长是由A₁B₁C₁的 $\text{[math]}$ ，
即为△ABC的周长 $\text{[math]}$ ，
所以第3个三角形的周长为 $\text{[math]}$ a；

（2）由（1）知．则第三个三角形它的周长是△ABC的周长的 $\text{[math]}$ ，
依此类推，第n个三角形的周长为 $\text{[math]}$ ；

（3）第2008个三角形的周长为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
第2007个三角形周长的为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则二者之比为 $\text{[math]}$ ．
答：（1）第3个三角形的周长为 $\text{[math]}$ a；
（2）第n个三角形的周长为 $\text{[math]}$ ；
（3）第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A₁B₁C₁，利用它的周长是△ABC的周长的 $\text{[math]}$ ，求证△A₁B₁C₁∽△ABC，
利用相似三角形周长比等于相似比推出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后得出则第三个三角形的周长．
（2）由（1）方法依此类推，同理可推出第n个三角形的周长．
（3）将n=2008和n=2007分别代入 $\text{[math]}$ ，然后相比即可得出答案．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，此题关键是利用三角形中位线定理先求出第2个三角形与原三角形的相似比，然后求得第3个三角形与原三角形周长之比，依此类推，即可推出第n个三角形的周长为 $\text{[math]}$ ．
这是此题的突破点．推出此式，下面的问题迎刃而解了．