题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O
开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发．（1）设△POQ的面积等于y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；
（2）几秒后△POQ与△AOB相似；
（3）几秒后以PQ为直径的圆与直线AB相切．
分析：（1）可根据P、Q的速度，用时间x表示出OP和OQ的长，根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式．根据函数的性质可求出y的最大值及对应的x的值．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，因此本题可分两种情况讨论：
①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；可根据各自对应的成比例线段求出x的值．
（3）设以PQ为直径的圆与AB的切点为E，根据切割线定理可得出BE2=BQ•BO，同理AE2=AP•AO，可用x表示出BQ，AP的长．在直角三角形ABO中，（AE+BE）2=AB2，可联立上述三个式子，可求出x的值．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，因此本题可分两种情况讨论：
①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；可根据各自对应的成比例线段求出x的值．
（3）设以PQ为直径的圆与AB的切点为E，根据切割线定理可得出BE2=BQ•BO，同理AE2=AP•AO，可用x表示出BQ，AP的长．在直角三角形ABO中，（AE+BE）2=AB2，可联立上述三个式子，可求出x的值．
解答：解：（1）y=
（6-x）•2x=-x2+6x=-（x-3）2+9，y的最大值=9cm2．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ与△AOB相似，无非两种情况：
=
或
=
．
由
=
，得x=3；
由
=
，得x=
．
即x=3s或x=
s．
（3）x=
s时以PQ为直径的圆与AB相切．
设以PQ为直径的圆与AB的切点为E；
∵BE2=BQ•BO=12（12-2x）
AE2=AP•AO=6x，又（AE+BE）2=OB2+OA2
∴（
+
）2=122+62，
解之，得x=
s．
| 1 |
| 2 |
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ与△AOB相似，无非两种情况：
| OP |
| OA |
| OQ |
| OB |
| OP |
| OB |
| OQ |
| OA |
由
| 2x |
| 12 |
| 6-x |
| 6 |
由
| 2x |
| 6 |
| 6-x |
| 12 |
| 6 |
| 5 |
即x=3s或x=
| 6 |
| 5 |
（3）x=
| 6 |
| 5 |
设以PQ为直径的圆与AB的切点为E；
∵BE2=BQ•BO=12（12-2x）
AE2=AP•AO=6x，又（AE+BE）2=OB2+OA2
∴（
| 12(12-2x) |
| 6x |
解之，得x=
| 6 |
| 5 |
点评：考查二次函数的相关知识，考查学生基础知识的同时还渗透分类思想及识图能力．和应用二次函数的最值知识及三角形相似和直线与圆相切知识综合解决问题．
练习册系列答案
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