Question

【题目】在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

Answer 1

【答案】（1）4.8 （2）2.4（3）见解析

【解析】试题分析：首先利用勾股定理求得的长．再利用三角形面积的两种求法解得高的值．
（2）根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于的关系式S矩形DEFN

利用二次函数的性质求关系式的最大值．
（3）根据（2）知，知道的取值，此时S矩形DEFN最大，求得的值．再利用勾股定理求得的值，并与1.85比较大小．

试题解析：(1)过C作CG⊥AB于G，则CG=h，

在Rt△ABC中,

根据三角形面积公式得：

(2)∵如图,NF∥AB，

∴△CNF∽△CAB

∴

∴S矩形DEFN

则当x=2.4时,S矩形DEFN最大；

(3)当S矩形DEFN最大，x=2.4，

过点C作CG⊥AB于点G，

∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵

∴F为BC中点，

在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3

∵BM=1.85

∴BM>EB

故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案

∵x=2.4时，NF=5

∴AD=3.2

由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：

将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中.