Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；

②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1） B的坐标为（1，0）．y=-x2-x+2．（2）4， P（-2，3）．

【解析】

试题分析：（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x-1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-m2-2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；

试题解析：（1）①y=x+2当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，

∴C（0，2），A（-4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-对称，

∴点B的坐标为（1，0）．

②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），

又∵抛物线过点C（0，2），

∴2=-4a

∴a=-

∴y=-x2-x+2．

（2）设P（m，-m2-m+2）．

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，m+2），

∴PQ=-m2-m+2-（m+2）

=-m2-2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=-m2-4m=-（m+2）2+4，

∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值是4，

此时P（-2，3）．