Question

如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．
（1）请直接写出线段PG与PC的位置关系及

PG

PC

的值．
（2）若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图2．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．
（3）在图1中，若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请直接写出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）延长GP交CD于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠PDH=∠PFG，然后利用“角边角”证明△PGF和△PHD全等，根据全等三角形对应边相等可得PH=PG，DH=FG，然后求出CH=CG，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
（2）延长GP交AD于点H，连接CH，CG，先求出△PGF和△PHD全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=HD，PH=PG，再求出∠HDC=∠GBC=60°，然后利用“边角边”证明△HDC和△GBC全等，根据全等三角形对应边相等可得CH=CG，∠DCH=∠BCG，然后根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
（3）延长GP至H，使PH=PG，连接CH，DH，CG，同理先利用“边角边”证明△PGF和△PHD全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=HD，∠PDH=∠PFG，然后求出DH∥GF，再求出DH∥BE，根据两边互相平行的两个角相等或互补求出∠CDH+∠ABE=180°，再根据周角等于360°求出∠CBG+∠ABE=180°，然后求出∠CDH=∠CBG，然后利用“边角边”证明△HDC和△GBC全等，根据全等三角形对应边相等可得CH=CG，∠DCH=∠BCG，然后根据等腰三角形三线合一的性质求解即可．

解答：解：（1）延长GP交CD于H，
∵CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，
∵P是线段DF的中点，
∴PD=PF，
在△PGF和△PHD中，

∠PDH=∠PFG PD=PF ∠DPH=∠FPG

，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴PH=PG，DH=FG，
∵CH=CD-DH，CG=BC-BG，
BC-CD，BG=FG，
∴CH=CG，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∴∠PCG=

1

2

×120°=60°，
∴

PG

PC

=tan60°=

3

；

（2）猜想：（1）中的结论没有变化．
证明：延长GP交AD于点H，连接CH，CG（如图所示）．
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知AD∥FG，故∠GFP=∠HDP，
在△PGF和△PHD中，

∠GPF=∠DPH PD=PF ∠GFP=∠HDP

，
∴△PGF≌△PHD（ASA），
∴GF=HD，PH=PG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵BF、AB在同一条直线上，
∴∠GBC=60°，
∴∠HDC=∠GBC=60°，
∵（菱形）GF=GB，
∴DH=GB，
在△HDC和△GBC中，

BC=CD ∠HDC=∠GBC DH=GB

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°．
即∠HCG=120°，
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴

PG

PC

=tan60°=

3

；

（3）延长GP至H，使PH=PG，连接CH，DH，CG，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
在△PGF和△PHD中，

FP=DP ∠DPH=∠FPG PH=PG

，
∴△PGF≌△PHD（SAS），
∴GF=HD，∠PDH=∠PFG，
∴DH=BG，DH∥GF，
∵BE∥GF，
∴DH∥BE，
又∵CD∥AB，
∴∠CDH+∠ABE=180°，
∵∠ABC+∠CBG+∠EBG+∠ABE=360°，∠ABC+∠EBG=180°，
∴∠CBG+∠ABE=180°，
∴∠CDH=∠CBG，
在△HDC和△GBC中，

BC=DC ∠CDH=∠CBG DH=BG

，
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
又∵∠ABC=∠BEF=2α，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=∠BCD=180°-2α，
∴∠HCG=180°-2α，
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=

1

2

（180°-2α）=90°-α，
∴

PG

PC

=tan（90°-α）．

点评：本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．