Question

已知：二次函数y=x²-4x+a，下列说法中错误的个数是（　　）
①若图象与x轴有交点，则a≤4；
②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8；
③当a=3时，不等式x²-4x+a＞0的解集是1＜x＜3；
④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3；
⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x₁、x₂，则当x取x₁+x₂时的函数值与x取0时的函数值相等．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根据二次函数与图象与x轴交点的关系，利用根的判别式解答即可；
②求出二次函数定点的表达式，代入直线解析式即可求出a的值；
③将a=3代入不等式，即可求其解集；
④将解析式化为顶点式，利用解析式平移的规律解答；
⑤利用根与系数的关系将x₁+x₂的值代入解析式进行计算即可．

解答：解：①∵图象与x轴有交点，则△=16-4×1×a≥0，解得a≤4；故本选项正确；
②∵二次函数y=x²-4x-a的顶点坐标为（2，a-4），代入y=2x得，a-4=2×2，a=8，故本选项错误；
③当a=3时，y=x²-4x+3，图象与x轴交点坐标为：（1，0），（3，0），
故不等式x²-4x+a＞0的解集是：x＜1或x＞3，故本选项错误；
④将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后解析式为：y=（x+1）²+a-3，
∵图象过点（1，-2），∴将此点代入得：-2=（1+1）²+a-3，解得：a=-3，故本选项正确；
⑤由根与系数的关系，x₁+x₂=4，
当x=4时，y=16-16+a=a，
当x=0时，y=a，故本选项正确．
故选：B．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式（组）等知识，综合性较强．