Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+ k2+1=0．
（1）当k取何值方程有两个实数根．
（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△=[﹣（k+1）]2﹣4×（ k2+1）=2k﹣3≥0，

∴k≥

（2）解：设方程的两根为x1、x2

∴x12+x22=5，

∵x1+x2=k+1，x1x2= k2+1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（k+1）2﹣2×（ k2+1）=5，解得k1=﹣6，k2=2，

∵x1+x2=k+1＞0，

∴k＞﹣1，

∴k=2

【解析】（1）根据判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；（2）设方程的两根为x1 ， x2 ， 依题意x12+x22=5，又根据根与系数的关系可以得到x1+x2=k+1，x1x2= k2+1，而x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 ， 这样利用这些等式变形即可求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解求根公式(根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根)，还要掌握根与系数的关系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商)的相关知识才是答题的关键．