Question

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则有x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系．若α，β是方程x²-x-1=0的两根，记S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ，
（1）S₁=

 

S₂=

 

S₃=

 

S₄=

 

直接写出结果）
（2）当n为不小于3的整数时，由（1）猜想S_n，S_n-1，S_n-2有何关系？
（3）利用（2）中猜想求(

1+ 5

2

)7+(

1- 5

2

)7的值．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系，写出α+β，αβ的值，然后运用完全平方公式和立方和公式进行计算，求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．
（2）利用（1）中S₂=3，S₃=4，S₄=7，猜想S_n=S_n-1+S_n-2，然后由α，β是方程的根，得到α²=α+1，β^，2=β+1进行证明．
（3）根据（2）中的猜想得到上式为S₇=S₆+S₅进行计算求出式子的值．

解答：解：（1）根据根与系数的关系有：
α+β=1，αβ=-1．
∴S₁=α+β=1．
S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．
S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．
（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．
证明：∵α，β是方程的根，∴有：α²=α+1，β²=β+1，
S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2
=

αn

α

+

αn

α2

+

βn

β

+

βn

β2

=

αn(1+α)

α2

+

βn(1+β)

β2

=αⁿ+βⁿ=S_n．
故S_n=S_n-1+S_n-2．
（3）由（2）有：
(

1+ 5

2

)7+(

1- 5

2

)7=S₇=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S₃
=S₄+S₃+2S₄+S₃
=3S₄+2S₃
=3×7+2×4=29．

点评：本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，（1）题根据根与系数的关系，运用乘法公式计算求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．（2）题以（1）题结果为依据猜想S_n，S_n-1，S_n-2的关系，并根据α，β是方程的根进行证明．（3）题利用（2）题的结论进行计算求出式子的值．