题目内容
如图,在平面直角坐标系中,函数
(x>0,k是常数)的图象经过正方形OABC的顶点B,已知正方形OABC的面积为16,点D是反比例函数图象上一点.
(1)这个反比例函数的解析式是______;
(2)若△OCD的面积等于4,求D点的坐标;
(3)求出直线BD的解析式;
(4)在(2)的条件下,经过点D存在一条直线EF垂直于CD,直接写出直线EF的解析式.
解:(1)∵正方形OABC的面积为16,
∴B(4,4),
∵点B在函数
(x>0,k是常数)的图象上,
∴4=
,解得k=16,
∴反比例函数的解析式为y=
.
故答案为:y=
;
(2)过点D作DE⊥y轴于点E,
∵OC=4,△OCD的面积等于4,
∴
OC•DE=
×4×DE=4,解得DE=2,
∴y=
=8,
∴D(2,8);
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵B(4,4),D(2,8),
∴
,
解得
.
∴直线BD的解析式为y=-2x+12;
(4)∵EF⊥CD,
∴设直线EF的解析式为y=
x+b,
∵直线EF经过点D(2,8),
∴8=
×2+b,
解得b=7,
∴直线EF的解析式为y=
x+7.
分析:(1)根据正方形OABC的面积为16求出B点坐标,把B点坐标代入函数y=
,求出k的值,进而可得出反比例函数的解析式;
(2)根据△OCD的面积等于4求出D点横坐标,代入反比例函数的解析式即可;
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),把B、D两点的坐标代入求出kb的值即可;
(4)根据互相垂直的两条直线的斜率的积等于-1求出直线EF的斜率,再把D点坐标代入求出直线EF的解析式即可.
点评:本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数图象上点的坐标特点;利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识,难度适中.
∴B(4,4),
∵点B在函数

∴4=

∴反比例函数的解析式为y=

故答案为:y=

(2)过点D作DE⊥y轴于点E,

∵OC=4,△OCD的面积等于4,
∴


∴y=

∴D(2,8);
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵B(4,4),D(2,8),
∴

解得

∴直线BD的解析式为y=-2x+12;
(4)∵EF⊥CD,
∴设直线EF的解析式为y=

∵直线EF经过点D(2,8),
∴8=

解得b=7,
∴直线EF的解析式为y=

分析:(1)根据正方形OABC的面积为16求出B点坐标,把B点坐标代入函数y=

(2)根据△OCD的面积等于4求出D点横坐标,代入反比例函数的解析式即可;
(3)设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),把B、D两点的坐标代入求出kb的值即可;
(4)根据互相垂直的两条直线的斜率的积等于-1求出直线EF的斜率,再把D点坐标代入求出直线EF的解析式即可.
点评:本题考查的是反比例函数综合题,涉及到反比例函数图象上点的坐标特点;利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识,难度适中.

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