题目内容

如图，在平面直角坐标系中，函数 $数学公式$ （x＞0，k是常数）的图象经过正方形OABC的顶点B，已知正方形OABC的面积为16，点D是反比例函数图象上一点．
（1）这个反比例函数的解析式是______；
（2）若△OCD的面积等于4，求D点的坐标；
（3）求出直线BD的解析式；
（4）在（2）的条件下，经过点D存在一条直线EF垂直于CD，直接写出直线EF的解析式．

解：（1）∵正方形OABC的面积为16，
∴B（4，4），
∵点B在函数 $\text{[math]}$ （x＞0，k是常数）的图象上，
∴4= $\text{[math]}$ ，解得k=16，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ．
故答案为：y= $\text{[math]}$ ；

（2）过点D作DE⊥y轴于点E，

∵OC=4，△OCD的面积等于4，
∴ $\text{[math]}$ OC•DE= $\text{[math]}$ ×4×DE=4，解得DE=2，
∴y= $\text{[math]}$ =8，
∴D（2，8）；

（3）设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（4，4），D（2，8），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴直线BD的解析式为y=-2x+12；

（4）∵EF⊥CD，
∴设直线EF的解析式为y= $\text{[math]}$ x+b，
∵直线EF经过点D（2，8），
∴8= $\text{[math]}$ ×2+b，
解得b=7，
∴直线EF的解析式为y= $\text{[math]}$ x+7．
分析：（1）根据正方形OABC的面积为16求出B点坐标，把B点坐标代入函数y= $\text{[math]}$ ，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）根据△OCD的面积等于4求出D点横坐标，代入反比例函数的解析式即可；
（3）设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），把B、D两点的坐标代入求出kb的值即可；
（4）根据互相垂直的两条直线的斜率的积等于-1求出直线EF的斜率，再把D点坐标代入求出直线EF的解析式即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点；利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．