Question

【题目】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．

（1）求BC的长．

（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．并求BD的长．

（3）求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）BC＝8；（2）△ABD为等腰直角三角形．理由见解析；BD＝5；（3）CD＝7．

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC；

（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到BD=.

（3）根据已知条件可证△BCH为等腰直角三角形，即可得CH的长度，后根据勾股定理可得DH 长度，即可求得CD长度.

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，

∴BC＝＝8；

（2）△ABD为等腰直角三角形．理由如下：

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，

∵∠ACB的平分线交⊙O于D，

∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴BD＝ AB＝5；

（3）作BH⊥CD于H，如图，

∵∠BCH＝45°，

∴△BCH为等腰直角三角形，

∴BH＝CH＝BC＝4，

在Rt△BDH中，DH＝，

∴CD＝CH+DH＝4．