Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1 ．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线时，求∠CC1A1的度数；
（2）已知AB=6，BC=8，
①如图2，连接AA1 ， CC1 ， 若△CBC1的面积为16，求△ABA1的面积；
②如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应是点P1 ， 直接写出线段EP1长度的最大值．
（3）线段EP1长度的最大值为11，理由如下：

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，

∴∠BC1C=∠C=30°，

∴∠CC1A1=60°

（2）

解：如图2所示：

由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，

∴∠1=∠2， = = ，

∴△A1BA∽△C1BC，

∴ =（ ）2，

∵△CBC1的面积为16，

∴△ABA1的面积=9

（3）

如图3所示：当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，

最大值为：EP1=BC+BE=8+3=11．

即线段EP1长度的最大值为11．

【解析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1 ， 又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；（2）①由△ABC≌△A1BC1 ， 易证得△ABA1∽△CBC1 ， 然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值．
【考点精析】利用相似三角形的判定和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．