题目内容

已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0).
(1)求证:该抛物线与x轴有两个不同的交点;
(2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是否存在实数m、n,使得AP=2PB?若存在,则求出m、n满足的条件;若不存在,请说明理由.
(1)证明:△=m2-4×1×(-2m2)=9m2
∵m≠0,∴△>0,
∴该抛物线与x轴有两个不同的交点;

(2)由题意易知:点A、B的坐标满足方程:x2+mx-2m2=n,即x2+mx-(2m2+n)=0
由于方程有两个不相等的实数根,
因此△>0,即m2-4×1×[-(2m2+n)]>0?9m2+4n>0,①
由求根公式可知两根为:xA=
-m-
9m2+4n
2
xB=
-m+
9m2+4n
2

AB=xB-xA=
-m+
9m2+4n
2
-
-m-
9m2+4n
2
=
9m2+4n

PB=xB-xP=
-m+
9m2+4n
2
-0=
-m+
9m2+4n
2

分两种情况讨论:
第一种:如图1,点A在点P左边,点B在点P的右边
∵AP=2PB
∴AB=3PB
9m2+4n
=3×
-m+
9m2+4n
2
?
9m2+4n
=3m
.②
∴m>0.③
由②式可解得n=0.④
第二种:如图2,点A、B都在点P左边
∵AP=2PB
∴AB=PB
9m2+4n
=0-
-m+
9m2+4n
2
?3
9m2+4n
=m
.⑤
∴m>0.⑥
由⑤式可解得n=-
20
9
m2.⑦
综合①③④⑥⑦可知,满足条件的点P存在,此时m、n应满足条件:m>0,n=0或n=-
20
9
m2
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