Question

已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是

平行四边形

，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足

互相垂直

条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？

菱形

．

Answer 1

分析：（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=

1

2

BD，FG∥BD，FG═

1

2

BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1=90°，然后根据平行线的性质求出∠3=90°，再根据垂直定义解答．

解答：解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD，
同理FG∥BD，FG=

1

2

BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；

（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=

1

2

BD，FG=

1

2

BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故答案为平行四边形；互相垂直；菱形．

点评：本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．