Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点与图形，若点为图形上任意一点， 点关于第一、三象限角平分线的对称点为 ，且线段的中点为，则称点是图形关于点的“关联点”

（1）如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为

（2）如图2，在中，

①将线段向右平移个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则的取值范围是

②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或．

【解析】

（1）设点P坐标为（a，b），根据“关联点”的定义、中点的坐标公式和关于第一、三象限角平分线对称的两点的坐标规律即可；

（2）①先求出原AC与x轴的交点，然后根据△ABC是轴对称图形，且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得：“关联点”定义中的为OA关于（2,0）的对称线段与△ABC边的交点，平移线段可发现：当在C的左侧，过点（1,0）或（1,0）的右侧时符合题意，再列出不等式即可；

②由S、T的坐标可知，线段ST是x轴的一部分，线段ST关于点N的对称线段也是x轴的一部分，从而判断出定义中是△ABC边与x轴的交点，由图可知：点只有（-2,0）与（1,0）两种可能，再根据线段需要过点（-2,0）或（1,0）分类讨论并列出不等式即可．

解：（1）设点P坐标为（a，b）

∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为，

∴，

∵点是点关于原点的关联点，

∴的中点为原点，

∴，解得

∴点P坐标为：

故答案为：

（2）①设原AC的解析式为y=kx+b，

将代入得：

，解得：

∴原直线AC的解析式为：y=2x-2，

当y=0时，解得：x=1，

∴原AC与x轴的交点为（1,0）

△ABC是轴对称图形，且对称轴为第一、三象限角平分线和“关联点”的定义可得：定义中的Q在△ABC边上，

∴也在△ABC的边上，

∵将线段AO向右平移d(d>0)个单位长度，若平移后的线段上存在两个△ABC关于点（2,0）的关联点，

∴点和线段OA上的点必关于点（2,0）对称，此时O点坐标为（d,0），A点坐标为（2+d,2），

故作出OA关于（2,0）的对称线段，其中，，也必在上，即点为与△ABC边的交点，

∵平移后的线段上存在两个关于点的关联点，

∴与△ABC边必须有两个交点才满足题意，

如图中蓝线所示，平移可发现，当与C重合时，与△ABC边有一个交点，继续向左平移即可有两个交点，当过点（1,0）也有两个交点，继续向左平移就只有一个交点，

故当在C的左侧，过点（1,0）或（1,0）的右侧时符合题意，

，解得：．

故答案为：

②∵点和点

∴线段ST是x轴的一部分

∴线段ST上存在△ABC关于点N（n,0）的关联点，

故S、T关于点N（n,0）的对称点坐标为（n-2,0），坐标为（n-4,0）定义中在线段上，

∴即为△ABC边与x轴的交点，

由图可知，点只有（-2,0）与（1,0）两种可能，

∴线段需要过点（-2,0）或（1,0），

当线段需要过点（-2,0）时，

，解得

当线段需要过点（1,0）时，

，解得，

综上所述：或．