Question

【题目】如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ.

发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；

思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；

（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；

探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．

Answer 1

【答案】发现： 90°，10； 思考：（1）；（2）25π100+100；（3）点O到折痕PQ的距离为.

【解析】发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；

思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(1010)2=（10-OP）2，解得OP=1010，最后用面积的和差即可得出结论．

探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=OO′=．

发现：∵P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，

∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，

此时，∠POQ=90°，PQ==10；

思考：（1）如图，连接OQ，

∵点P是OB的中点，

∴OP=OB=OQ．

∵QP⊥OB，

∴∠OPQ=90°

在Rt△OPQ中，cos∠QOP=，

∴∠QOP=60°，

∴lBQ=

（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝10，

在Rt△B'OP中，OP2+(1010)2=（10-OP）2

解得OP=1010，

S阴影=S扇形AOB/span>-2S△AOP=

＝25π100+100；

探究：如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，

则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是所在圆的圆心，

∴O′C=OB=10，

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，

∴O′C⊥AO，

∴O′C∥OB，

∴四边形OCO′B是矩形，

在Rt△O′BP中，O′B=，

在Rt△OBO′K，OO′=，

∴OM=OO′=×=，

即O到折痕PQ的距离为．