题目内容
【题目】如图所示，在△ABC中，
，D、E分别是边AB、BC上的动点，且
，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设
．
（1）观察猜想
①在求
的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令
，解题思路如下：
如图1，先由
，得到
，再由中位线的性质得到
，
，进而得出△PMN为等边三角形，∴
．
②如图2，当
，仿照小明的思路求的值；
（2）探究证明
如图3，试猜想的值是否与
的度数有关，若有关，请用含
的式子表示出，若无关，请说明理由；
（3）拓展应用
如图4，
，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且
，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当
时，请直接写出MN的长．
【答案】（1）②
；（2）
的值与
的度数有关，
；（3）MN的长为
或
．
【解析】
（1）②先根据线段的和差求出
，再根据中位线定理、平行线的性质得出
，从而可得出
，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；
（2）参照题（1）的方法，得出
为等腰三角形和
的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；
（3）分两种情况：当点D、E分别是边AB、CB上的动点时和当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出
，再根据相似三角形的判定与性质得出BC、CE的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出
，从而可得
的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN的长．
（1）②
∴
∴
为等腰直角三角形，
∵点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
即；
（2）的值与的度数有关，求解过程如下：
由（1）可知，
，即为等腰三角形
如图5，作
则
在
中，
，即
则；
（3）依题意，分以下两种情况：
①当点D、E分别是边AB、CB上的动点时
如图6，作
的角平分线交AB边于点F，并连结BP
，
，即
设
，则
解得
或
（不符题意，舍去）
即
由（2）可知，
点P是AC上的中点
，
（等腰三角形的三线合一）
在
中，
，即
②如图7，当点D、E分别是边AB、CB的延长线上的动点时
同理可得：
综上，MN的长为或．
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【题目】某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）．
（I）根据题意，填写下表：
游泳次数 | 10 | 15 | 20 | … | x |
方式一的总费用（元） | 150 | 175 | ______ | … | ______ |
方式二的总费用（元） | 90 | 135 | ______ | … | ______ |
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
