Question

如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，AD=5，BD=4，四边形CEDF为正方形，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

分析：设正方形CEDF的边长为a，由四边形CEDF为正方形，∠ACB=90°，得DF∥BC，得到△ADF∽△DBE，所以

5

4

=

a

BE

=

AF

a

，则BE=

4a

5

，AF=

5a

4

，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到a²=

400

41

，再利用三角形的面积公式得S_阴影部分=

1

2

•AF•DF+

1

2

•DE•BE，代入计算即可得到阴影部分的面积．

解答：解：设正方形CEDF的边长为a，
∵四边形CEDF为正方形，∠ACB=90°，
∴DF∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∴△ADF∽△DBE，
∴

5

4

=

a

BE

=

AF

a

，
∴BE=

4a

5

，AF=

5a

4

，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即4²=a²+（

4a

5

）²，
解得a²=

400

41

，
又∵S_阴影部分=

1

2

•AF•DF+

1

2

•DE•BE=

1

2

（

5a2

4

+

4a2

5

）=

1

2

×

41

20

×

400

41

=10．
故答案为10．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质，只有一个锐角相等的两个直角三角形相似．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．