Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过两点（0，1），（

1

m

，

m2+mb-1

m2

）
（1）求a、c的值．
（2）①求证抛物线与x轴恒有两个交点．②设抛物线与x轴的两个交点A、B，求线段AB的最小值．
（3）当b取何值时，对任意的x满足-1≤x≤2时，都恒有-8≤y≤

13

4

成立．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点（0，1），（

1

m

，

m2+mb-1

m2

）分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组可以求得a、c的值；
（2）①由关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，即-x²+bx+1=0的根的判别式的符号来证明；
②设点A、B的横坐标分别是x₁，x₂，则根据一元二次方程的根与系数的关系求得AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=b²+4，故当b=0时，AB取最小值，AB_最小值=

4

=2；
（3）把二次函数解析式转化为顶点式y=-x²+bx+1=-（x-

b

2

）²+

b2

4

+1，求得最大值；需要对该抛物线的对称轴的位置进行分类讨论：①当对称轴x=

b

2

≤-1时；②当对称轴x=

b

2

≥2时；当对称轴-1＜x=

b

2

＜2时．这三种情况下求b的取值范围．

解答：解：（1）依题意，得

c=1 m2+mb-1 m2 = a m2 + 1 m +c

，
解得，

a=-1 c=1

．
所以，a、c的值分别是-1和1；

（2）证明：由（1）知，a、c的值分别是-1和1，则y=-x²+bx+1．
令y=0，则-x²+bx+1=0，
∵△=b²-4×（-1）×1=b²+4＞0，
∴关于x的一元二次方程-x²+bx+1=0有2个实数根，即抛物线与x轴恒有两个交点；
②设点A、B的横坐标分别是x₁，x₂，则
x₁+x₂=b，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=b²+4，
∴当b=0时，AB取最小值，AB_最小值=

4

=2，即线段AB的最小值是2；

（3）y=-x²+bx+1=-（x-

b

2

）²+

b2

4

+1．
∵-1＜0，
∴该抛物线有最大值（

b2

4

+1）．
∵当x=-1时，y=-b，
当x=2时，y=2b-3，
∴①当对称轴x=

b

2

≤-1时，即b≤-2时，函数在-1≤x≤2上，y随x的增大而减小．则
-8≤2b-3≤

13

4

，
解得，-

5

2

≤b≤

25

8

．
∴当-

5

2

≤b≤-2时，
②当对称轴x=

b

2

≥2时，即b≥4时，函数在-1≤x≤2上，y随x的增大而增大．则
-8≤-b≤

13

4

，
解得，-

13

4

≤b≤8，
∴当4≤b≤8时，对任意的x满足-1≤x≤2时，都恒有-8≤y≤

13

4

成立；
③当对称轴-1＜x=

b

2

＜2时，即-2＜b＜4时，

b2

4

+1=

13

4

，
解得，b=3或b=-3（不合题意，舍去），
∴当b=3时，对任意的x满足-1≤x≤2时，都恒有-8≤y≤

13

4

成立；
综上所述，b的取值范围是-

5

2

≤b≤-2或4≤b≤8或b=3．

点评：本题考查了二次函数综合题．解题过程中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的图象的性质，难度较大，需要学生对知识有一个系统的、综合性的掌握与运用的能力．