Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t＞0)，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．

(1)求c，b(用含t的代数式表示)：

(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝；

(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b； 　　(2)①当x＝1时，y＝1－t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数， 　　②由S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值； 　　(3)根据图形，即可直接求得答案． 　　解答：解：(1)把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0， 　　再把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0， 　　∵t＞0， 　　∴b＝－t； 　　(2)①不变． 　　如题干图，当x＝1时，y＝1－t，故M(1，1－t)， 　　∵tan∠AMP＝1， 　　∴∠AMP＝45°； 　　②S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM＝(t－4)(4t－16)＋[(4t－16)＋(t－1)]×3－(t－1)(t－1)＝t2－t＋6． 　　解t2－t＋6＝， 　　得：t1＝，t2＝， 　　∵4＜t＜5， 　　∴t1＝舍去， 　　∴t＝． 　　(3)＜t＜． 　　点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

提示：

二次函数综合题．