题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣a2关于y轴对称且有最小值﹣1．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）在图1中抛物线C1顶点为A，将抛物线C1绕 点B旋转180°后得到抛物线C2，直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线与抛物线C2只有一个公共点，求直线l的解析式．
（3）如图2，先将抛物线 C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长．
【答案】（1）y=x2﹣1（2）过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2
x+4﹣4
或y=﹣2
x+4+4
，它们分别与抛物线C3只有一个公共点（3）
【解析】试题分析： 
根据抛物线的对称轴为
轴，求得
抛物线有最小值，可求得
，即可求出抛物线
的解析式.
依题意可求出抛物线
的解析式为： 
由直线
总经过一定点M，可求得定点M为
，①经过定点
与
轴平行的直线
： 
与抛物线
总有一个公共点
．②经过定点
的直线
为一次函数
时，与
联立方程组，利用
可得得
的值，即可得出
或
，综上所述，过定点M，共有三条直线它们分别与抛物线
只有一个公共点．
设抛物线
的顶点为
，依题意可得抛物线
的解析式为： 
与直线
联立，可得
的坐标，过点C作
∥
轴，过点D作DM∥y轴，可求出
即可得出
的值．
试题解析：（1）
抛物线的对称轴为
轴，
解得
抛物线的解析式为
当
抛物线有最小值，即
解得： 
或
（舍去）．
抛物线
的解析式
（2）抛物线
的解析式
设抛物线
与x轴的令一个交点为
．
令
得： 
解得： 
将抛物线
绕点
旋转
后得到抛物线
，
∴点
对应点的坐标为
，点
对应点的坐标为
.
设
的解析式为
将
代入得： 
解得
的解析式为
直线
总经过一定点M，
∴定点M为
，
①经过定点
与
轴平行的直线
： 
与抛物线
总有一个公共点
．
②将
与
联立得： 
整理得： 
∵过定点M的直线与抛物线
只有一个公共点，
解得
∴过定点M的直线的解析式为
或
，
综上所述，过定点M，共有三条直线l： 
或
或
，它们分别与抛物线
只有一个公共点．
（3）以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则直线和抛物线在新坐标系的解析式为
与
将
与
联立，解得： 
或
∴点
和点
在新坐标系内的坐标分别为
