Question

已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E,D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）y="-1/4" x²+3/2 x-2（2）1（3）当t="2" /3 或t="10/" 7 时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，证明见解析

解：（1）由抛物线y=ax²+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a="-1/4" ，
∴抛物线的解析式为y="-1/4" (x-2)(x-4)="-1/4" x2+3/2 x-2，
答：抛物线的解析式为y="-1/4" x²+3/2 x-2．
（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：ED /OB ="CE" /CO ，
即ED/4 ="CE/2" ，
∴ED=2CE=2t，
①1/ED +1/OP ="1/2t" +1/4-2t ="4/2t(4-2t)" ="1/-t2+2t" ，
∵当t=1时，-t2+2t有最大值1，
∴当t=1时1 ED +1 OP 的值最小，最小值为1．
答：当t为1时，1/ED +1/OP 的值最小，最小值是1．
②解：由题意可求：CD=" 5" t，CB="2" 5 ，
∴BD="2" 5 - 5 t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当BP AB ="BD" BC 时，即2t 2 ="2" 5 - 5 t 2 5 ，
解得：t="2" 3 ，
当BP BD ="BC" BA 时，即2t 2 5 - 5 t ="2" 5  2 ，
解得：t="10" 7 ，
当t="2/3" 或t="10/7" 时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是2/3 或10/7 ．
（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；
（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出EDOB ="CE" CO ，求出ED=2CE=2t，根据1 ED +1 OP ="1" 2t +1 4-2t ="4" 2t(4-2t) ="1" -t2+2t ，求出即可；
②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：BP AB ="BD" BC 和BP BD ="BC" BA 代入求出即可．