题目内容
【题目】已知，在平面直角坐标系中，
、
，m、n满足
．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．
（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为 ．
（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
（3）设AB＝5
,若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）AB＝2PE；（2）成立，理由见解析；（3）点D
．
【解析】
（1）根据非负数的性质分别求出m、n，证明△POC≌△DPE，可得出OC＝PE，由AB＝2OC，则结论得出；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，证明△POC≌△DPE，根据全等三角形的性质得到OC＝PE，可得到答案；
（3）证明△POB≌△DPA，得到PA＝OB＝5，DA＝PB，根据坐标与图形性质解答即可．
解：（1）∵(m﹣n)2+|m﹣5|＝0，
∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，
∴m＝n＝5，
∴A(5，0)、B(0，5)，
∴AC＝BC＝5，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，
∵PO＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
∵D是x轴正半轴上一点，
∴点P在BC上，
∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，
∴∠POC＝∠DPE，
在△POC和△DPE中，
,在此处键入公式。
∴△POC≌△DPE(AAS)，
∴OC＝PE，
∵C为AB的中点，
∴AB＝2OC，
∴AB＝2PE．
故答案为：AB＝2PE．
（2）成立，理由如下：
∵点C为AB中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，
∵PO＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，
∴∠POC＝∠DPE，
在△POC和△DPE中，
，
∴△POC≌△DPE(AAS)，
∴OC＝PE，
又∠AOC＝∠BAO＝45°
∴OC＝AC＝AB
∴AB＝2PE；
（3）∵AB＝5
，
∴OA＝OB＝5，
∵OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝
＝67.5°，
∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，
∴∠APD＝∠BOP，
在△POB和△DPA中，
，
∴△POB≌△DPA(SAS)，
∴PA＝OB＝5，DA＝PB，
∴DA＝PB＝5﹣5，
∴OD＝OA﹣DA＝5﹣(5﹣5)＝10﹣5，
∴点D的坐标为．
