Question

如图，已知?ABCD，∠A=45°，AD=4，以AD为直径的半圆O与BC相切于点B，则图中阴影部分的面积为

1. A.
   4
2. B.
   π+2
3. C.
   4
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：连接BD及OB，根据直径所对的圆周角为直角得到角ABD为直角，又角A为45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，因为O为AB中点，根据三线合一得到BO垂直于AD，又根据BO为斜边上的中线，等于斜边AD的一半，即可求出BO，根据扇形OAB与扇形OBD的圆心角及半径相等，得到两扇形面积相等，又三角形AOB与三角形BOD全等得到两三角形面积相等，用扇形减去三角形即可得到弓形AB与弓形BD的面积相等，则阴影部分面积可转化为三角形BDC的面积，根据平行四边形的对边相等得到BC与AD相等都等于4，然后根据三角形的面积公式底乘以高除以2即可求出所求阴影部分的面积．
解答：解：连接BD，OB，
∵AD为圆O的直角，
∴∠ABD=90°又∠A=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，又O为AD的中点，
∴BO⊥AD，且BO=AD=2，AB=BD，
∵扇形AOB与扇形OBD的圆心角都为90°，半径都为2，
得到S_扇形AOB=S_扇形OBD，又S_△AOB=S_△DOB
∴S_弓形AB=S_弓形BD，
由ABCD为平行四边形，得到AD=BC，
则S_阴影=S_△BCD=BC•BO=AD•OB=×4×2=4．
故选C．
点评：此题考查学生会利用转化的思想把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，考查了数形结合的数学思想，同时要求学生掌握平行四边形及等腰直角三角形的性质，是一道中档题．