Question

如图，已知ABCD是圆的内接四边形，对角线AC和BD相交于E，BC=CD=4，AE=6，如果线段BE和DE的长都是整数，则BD的长等于

 

．

Answer 1

分析：已知了BC=CD，可得出弧BC=弧CD，根据圆周角定理可得出∠BAC=∠CBD；易证得△CBE∽△CAB，根据所得的关于AC、CE、BC的比例关系式可求出EC的长；
根据相交弦定理得AE•EC=BE•ED，又已知BE、DE的长是整数，可求出BE、DE的取值情况；然后在△BCD中，根据三角形三边关系定理将不合题意的解舍去．

解答：解：∵BC=CD=4，
∴

BC

=

CD

；
∴∠CBE=∠CDB=∠CAB；
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，得

BC

AC

=

EC

BC

，即

4

6+EC

=

EC

4

；
化简得：EC²+6EC-16=0，解得：EC=2（负值舍去）．
由相交弦定理，得：BE•ED=AE•EC，
∴BE•ED=2×6=12；
则BE和DE可取的值分别为3，4；2，6；1，12；
又因为BC=CD=4，所以BD＜BC+CD=4+4=8．
故为BD=3+4=7．

点评：此题是一道开放题，先根据相似三角形的性质和相交弦定理估算出BE、ED，再根据三角形两边之和大于第三边将不合题意的解舍去，综合性较强，难度较大．