题目内容
【题目】如图，直线y＝
x+6与x轴、y轴交于A、B两点，点C在第四象限，BC⊥AB，且BC＝AB；
（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，D是BC的中点，过D作AC的垂线EF交AC于E，交直线AB于F，连接CF，点P为射线AD上一动点，求PF2﹣PC2的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，在第二象限过点A作线段AM⊥AB于点A，在线段AB上取一点N，连接MN，使MN＝BN，在第三象限取一点Q，使∠NMQ＝90°，连接QC，若QC∥AB，且QC＝6AM，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为s，求s与t的函数关系式．
【答案】（1）C(6，﹣2)；（2）25；（3）
【解析】
（1）过C作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，证明△BHC≌△AOB（AAS）即可解决问题；
（2）如图2中，设射线AD交CF于G．根据“SAS”证明△ABD≌△CBF，利用勾股定理解决问题即可；
（3）如图3中，连接BM，BQ，过B作BK⊥QM延长线于点K，延长MA交QC于点T，可得正方形ABCT．证明△BKM≌△BAM（ASA），推出BA＝BK＝BC，MK＝MA，证明Rt△BKQ≌Rt△BCQ（HL），推出QK＝QC，设AM＝a，则QK＝QC＝6a，在Rt△QMT中，MQ＝5a，MT＝a+10，QT＝6a﹣10，勾股定理可得a＝
，由tan∠MNA＝tan∠QMT＝tan∠BAO＝
，推出QT＝10，MQ＝
，MT＝
，作PS⊥MQ于点S，根据
，计算即可．
解：（1）如图1中，
在y＝x+6中，令y＝0，得x＝﹣8；令x＝0，得y＝6
∴A(﹣8，0)，B(0，6)，
∴OA＝8，OB＝6，
过C作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABO，
又∠BHC＝∠AOB＝90°，BC＝AB，
∴△BHC≌△AOB（AAS），
∴HC＝OB＝6，BH＝OA＝8，OH＝8﹣6＝2，
∴C(6，﹣2)．
（2）如图2中，设射线AD交CF于G．
∵BC⊥AB，BC＝AB，
∴∠BAC＝45°
∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝45°
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD＝BF，
又∠ABD＝∠CBF＝90°，AB＝CB
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD＝∠BCF，
∵∠BDA＝∠CDG，
∴∠CGD＝∠ABD＝90°，
即AD⊥CF，
∵OA＝8，OB＝6，
∴AB＝
＝10，
∴BC＝10，
∴BF＝BD＝5，
∴PF2﹣PC2＝(PG2+FG2)﹣(PG2+CG2)
＝FG2﹣CG2＝(DF2﹣DG2)﹣(DC2﹣DG2)
＝DF2﹣DC2＝DF2﹣BD2＝BF2＝25
（3）如图3中，连接BM，BQ，过B作BK⊥QM延长线于点K，延长MA交QC于点T，可得正方形ABCT．
∵MN＝BN，
∴∠NMB＝∠NBM，
∵BK⊥QK，NM⊥QK，
∴BK∥MN，
∴∠KBM＝∠BMN，
∴∠KBM＝∠MBA，
∵MB＝MB，∠K＝∠BAM＝90°
∴△BKM≌△BAM（ASA），
∴BA＝BK＝BC，MK＝MA，
∴Rt△BKQ≌Rt△BCQ（HL），
∴QK＝QC，
设AM＝a，则QK＝QC＝6a，
在Rt△QMT中，MQ＝5a，MT＝a+10，QT＝6a﹣10，勾股定理可得a＝，
∵tan∠MNA＝tan∠QMT＝tan∠BAO＝，
∴QT＝10，MQ＝，MT＝
∴MN∥x轴，MQ∥y轴，作PS⊥MQ于点S，
∴，
设MQ与x轴交于点I，Rt△MAI中，AI＝2，
作AL⊥PS于点L，得矩形ALSI，
∴PS＝PL+LS＝t+10，
∴
，
∴．
