Question

将一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放，点E, A, D, B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转（0°＜＜90°）角，在旋转过程中，直线DE与AC相交于点M，直线DF与BC相交于点N，分别过点M, N作直线AB的垂线，垂足分别为G, H.

（1）当=30°时（如图2），求证：AG=DH;

（2）当=60°时（如图3），（1）中的结论是否仍成立？请写出你的结论，并说明理由.

Answer 1

见解析.

试题分析：（1）由α=30°知∠ADM=30°，∠A=30°，所以∠ADM=∠A．AM=DM．又由MG⊥AD于G，可得:AG=AD．又有∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，证得△CDB是等边三角形．又CH⊥DB于H，DH=DB．根据直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半得:BC=AB．由BC=BD，所以有AD=DB．从而证得AG=DH．
（2）在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，可得△AMD≌△DNB，所以AM=DN．在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，又可证得△AMG≌△DNH．
∴AG=DH．
试题解析：（1）∵α=30°，∴∠ADM=30°，
∵∠A=30°，∴∠ADM=∠A．
∴AM=DM．
又∵MG⊥AD于G，
∴AG=AD．
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形．
又∵CH⊥DB于H，
∴DH=DB．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB．
∵BC=BD，∴AD=DB．
∴AG=DH．
（2）结论成立．理由如下：
在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN．
又∵在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，
∴△AMG≌△DNH．
∴AG="DH" ．