Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，四边形CDEF是正方形，BD与EF交于点G，如果AC=9，BC=18．求：
（1）求正方形的边长；
（2）EG的长．

Answer 1

分析：（1）设正方形的边长为x，由正方形的性质可知DE∥BC，所以△ADE∽ACB，由相似的性质：对应边的比值相等即可求出x的值，进而求出正方形的边长；
（2）设EG=y，利用正方形的性质可证明△DEG∽△BFG，再得到关于y的比例式进而求出y的值，所以EG的长求出．

解答：解：（1）∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

设正方形的边长为x，则DE=DC=x，
∵AC=9，BC=18，
∴AD=AC-DC=9-x，
∴

9-x

9

=

x

18

，
解得：x=6，
∴正方形的边长是6；

（2）∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BF，
∴△DEG∽△BFG，
∴

DE

BF

=

EG

GF

，
设EG=y，则GF=EF-y=6-y，
∴

6

12

=

y

6-y

，
解得：y=2，
∴EG的长是2．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，解题的关键是正确设出未知数利用列方程的方法求出线段的长．