题目内容
正方形ABCD中,点F为正方形ABCD内的点,△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合.
(1)如图1,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=
,求证:AE∥BF;
(2)如图2,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点,且AF:FC=3:1,BC=2,求BF的长.
(1)如图1,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=
3 |
(2)如图2,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点,且AF:FC=3:1,BC=2,求BF的长.
分析:(1)由条件可以得出△BFE是直角三角形,就有∠BFC=90°,由旋转可得∠EBF=∠AEB=90°,就有∠AEB+∠EBF=180°,从而得出结论.
(2)在正方形中根据勾股定理可以求出AC,由AF:FC=3:1可以求出AF、CF的长.由旋转可以求出AE=CF,BE=BF,∠EBF=90°,△AEF是直角三角形,从而求出EF的长.进而由勾股定理可以求出BF的值.
(2)在正方形中根据勾股定理可以求出AC,由AF:FC=3:1可以求出AF、CF的长.由旋转可以求出AE=CF,BE=BF,∠EBF=90°,△AEF是直角三角形,从而求出EF的长.进而由勾股定理可以求出BF的值.
解答:解:(1)证明:∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠BFC
在△BFC中,
∵BF2+FC2=12+(
)2=4,
BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°…(3分)
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…(4分)
(2)解:∵Rt△ABC中,AB=BC=2,由勾股定理,得
AC=
=2
.
∵AF:FC=3:1,
∴AF=
AC=
,FC=
AC=
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB,BE=BF,AE=CF=
,
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中,EF=
=
,
在Rt△EBF中,EF2=BE2+BF2
∵BE=BF
∴BF=
EF=
.
∴BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠BFC
在△BFC中,
∵BF2+FC2=12+(
3 |
BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°…(3分)
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…(4分)
(2)解:∵Rt△ABC中,AB=BC=2,由勾股定理,得
AC=
AB2+BC2 |
2 |
∵AF:FC=3:1,
∴AF=
3 |
4 |
3
| ||
2 |
1 |
4 |
| ||
2 |
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB,BE=BF,AE=CF=
| ||
2 |
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中,EF=
AE2+AF2 |
5 |
在Rt△EBF中,EF2=BE2+BF2
∵BE=BF
∴BF=
| ||
2 |
| ||
2 |
点评:本题考查了正方形的性质,勾股定理、勾股定理的逆定理的运用,旋转的性质,平行线的判定,在解答的过程中要注意旋转过程中的不变量的运用.
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