Question

已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE²=2（AD²+AB²），
其中结论正确的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C

试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴BD=CE。本结论正确。
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE。
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°。∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°。
∴BD⊥CE。本结论正确。
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°。∴∠ABD+∠DBC=45°。
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°。本结论正确。
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE²=BD²+DE²。
∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD，即DE²=2AD²。
∴BE²=BD²+DE²=BD²+2AD²。
而BD²≠2AB²，本结论错误。
综上所述，正确的个数为3个。故选C。