题目内容
(2011•西双版纳)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,直线y=kx-1与抛物线交于A、C两点,其中A(-1,0),B(3,0),点C的纵坐标为-3.
(1)求k的值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,写出所有满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)求k的值;
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,写出所有满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)把(-1,0)代入y=kx-1,即可求得k的值;
(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(3)P在AC的中垂线上,首先求得AC的中垂线的解析式,然后与二次函数的解析式组成方程组,即可求得P的坐标.
(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;
(3)P在AC的中垂线上,首先求得AC的中垂线的解析式,然后与二次函数的解析式组成方程组,即可求得P的坐标.
解答:解:(1)把(-1,0)代入y=kx-1,得:-k-1=0,解得:k=-1;
(2)在y=-x-1中,令y=-3,解得:-x-1=-3,解得:x=2,则C的坐标是(2,-3).
设抛物线的解析式是:y=ax2+bx+c,
则
,
解得:
,
则函数的解析式是:y=x2-2x-3;
(3)A、C的中点是:(
,-
),
∵△ACP是等腰三角形,且以AC为底边,
∴P在AC的中垂线上,
∴设AC的中垂线的解析式是:y=x+c,把(
,-
)代入得:
+c=-
,解得:c=-2.
则解析式是:y=x-2.
根据题意得:
;
解得:
或
.
故P的坐标是:(
,
)或(
,-
).
(2)在y=-x-1中,令y=-3,解得:-x-1=-3,解得:x=2,则C的坐标是(2,-3).
设抛物线的解析式是:y=ax2+bx+c,
则
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解得:
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则函数的解析式是:y=x2-2x-3;
(3)A、C的中点是:(
1 |
2 |
3 |
2 |
∵△ACP是等腰三角形,且以AC为底边,
∴P在AC的中垂线上,
∴设AC的中垂线的解析式是:y=x+c,把(
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2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
则解析式是:y=x-2.
根据题意得:
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解得:
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故P的坐标是:(
3+
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2 |
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2 |
3-
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2 |
| ||
2 |
点评:本题考查了待定系数法求函数的解析式,理解互相垂直的直线的解析式之间的关系是关键.
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