Question

如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60^o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?   
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

（1）C(2，2)，OB=4cm（2），当t=8时，S最大（3）a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)

解：（1）C(2，2)，OB=4cm。
（2）①当0<t≤4时，
过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，

则QD=t。
∴S=OP·QD=t²。
②当4<t≤8时，
作QE⊥x轴于点E(如图2)，

则QE=2。
∴S =DP·QE=t。
③当8<t<12时，
延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)。

易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH= (t－8)。
∴=t·2－t· (t－8)
=－t²+3t。 
综上所述， 。
∵①②中S随t的增加而增加，
③中，S随t的增加而减小，
∴当t=8时，S最大。   
（3）①当△OPM∽△OAB时(如图4)，

则PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范围是0<t≤8。   
②当△OPM∽△OBA时(如图5)，

则， 即。∴OM=。
又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。
∴，即。
整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范围是6≤t≤8。   
综上所述：a=1+ (0<t≤8)或a=1－ (6≤t≤8)。
（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N， 

则在Rt△COM中，由∠AOC=60^o，OC=4，应用锐角三角函数定义，可求得OM=2，CM=2，
∴ C(2，2)。
由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，
ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。
（2）分0<t≤4，4<t≤8和8<t<12分别讨论，得到函数关系式后根据一次函数和二次函数的性质求出S最大时t的值。
（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。