Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标；

（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？

（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线CE的表达式为y=﹣x﹣；（2）点Q的坐标为（﹣，﹣）；（3）弦GH的最大值；（4）存在，t的值为3或7

【解析】

（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，结合点A、D的坐标可得出AC、AD的长，取点E（﹣1，0），连接CE交抛物线于点Q，则四边形ACED为菱形，由点C、E的坐标，利用待定系数法可求出直线CE的表达式，联立直线CE与抛物线表达式成方程组，通过解方程组即可求出点Q的坐标；

（3）由点C、D的坐标，利用待定系数法可求出直线CD的表达式，设点N的坐标为（x，x2+3x），则点G的坐标为（x，﹣x+2），进而可得出NG=﹣x2﹣x+2，利用二次函数的性质可求出NG的最大值，以NG为直径画⊙O′，取GH的中点F，连接O′F，则O′F⊥BC，通过解直角三角形可得出GH=NG，代入NG的最大值即可求出弦GH的最大值；

（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD于点P2，交CD于点M2，由AC∥x轴及点A的坐标可得出EP1=4，由菱形的对称性可得出EP2=4，根据点C和点E的坐标可得出CP1、DP2的长度，再结合AC、AD的长即可求出t的值，此题得解．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），

∴ ，解得：a=1,b=3,

∴抛物线的表达式为y=x2+3x．

（2）当y=4时，有x2+3x=4，

解得：x1=﹣4，x2=1，

∴点C的坐标为（﹣4，4），

∴AC=1﹣（﹣4）=5．

∵A（1，4），D（4，0），

∴AD=5．

取点E（﹣1，0），连接CE交抛物线于点Q，如图1所示．

∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC∥DE，

∴四边形ACED为平行四边形，

∵AC=AD，

∴四边形ACED为菱形，

∴CD平分∠ACQ．

设直线CE的表达式为y=mx+n（m≠0），

将C（﹣4，4）、E（﹣1，0）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直线CE的表达式为y=﹣x﹣．

联立直线CE与抛物线表达式成方程组，得： ，

解得： ，

∴点Q的坐标为（﹣，﹣）．

（3）设直线CD的表达式为y=kx+c（k≠0），

将C（﹣4，4）、D（4，0）代入y=kx+c，得：

，解得： ，

∴直线CD的表达式为y=﹣x+2．

设点N的坐标为（x，x2+3x），则点G的坐标为（x，﹣x+2），

∴NG=﹣x+2﹣（x2+3x）=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，

∵﹣1＜0，

∴当x=﹣时，NG取最大值，最大值为．

以NG为直径画⊙O′，取GH的中点F，连接O′F，则O′F⊥BC，如图2所示．

∵直线CD的表达式为y=﹣x+2，NG∥y轴，O′F⊥BC，

∴tan∠GO′F==，

∴，

∴GH=2GF= O′G=NG，

∴弦GH的最大值为×=．

（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD于点P2，交CD于点M2，如图3所示．

∵四边形ACED为菱形，

∴点A、E关于CD对称，

∴AM=EM．

∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），

∴EP1=4．

由菱形的对称性可知EP2=4．

∵点E的坐标为（﹣1，0），

∴点P1的坐标为（﹣1，4），

∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，

又∵AC=AD=5，

∴t的值为3或7．