题目内容
如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B?A，B?C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQC
N的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQC
N的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4-1=3，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴
=
，
∴PM=
．
（2）当t=2时，使△PNB∽△PAD，
∴
=
，
∵
=
，
∴
=
这样就可以求出t，
相似比为2：3．
（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP∽△ABN，
∴
=
即
=
，∵PM=
，
∵PQ=3-
，
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
即
=
=
=
，
化简得t=
，
∵t≤3，
∴
≤3，则a≤6，
∴3＜a≤6．
（4）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴
（a-t）=3-t，
两边同时乘以a，得at-t2=3a-at，
整理，得t2-2at+3a=0，
把t=
代入，整理得9a3-108a=0，
∵a≠0，∴9a2-108=0，
∴a=±2
，
所以a=2
．
所以，存在a，
当a=2
时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴
| PM |
| NB |
| AM |
| AB |
∴PM=
| 3 |
| 4 |
（2）当t=2时，使△PNB∽△PAD，
∴
| NB |
| AD |
| PN |
| PA |
∵
| PN |
| PA |
| BM |
| AM |
∴
| NB |
| AD |
| BM |
| AM |
相似比为2：3．
（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP∽△ABN，
∴
| PM |
| BN |
| AM |
| AB |
| PM |
| t |
| a-t |
| a |
| t(a-t) |
| a |
∵PQ=3-
| t(a-t) |
| a |
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
即
| (QP+AD)DQ |
| 2 |
| (MP+BN)BM |
| 2 |
(3-
| ||
| 2 |
(
| ||
| 2 |
化简得t=
| 6a |
| 6+a |
∵t≤3，
∴
| 6a |
| 6+a |
∴3＜a≤6．
（4）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴
| t |
| a |
两边同时乘以a，得at-t2=3a-at，
整理，得t2-2at+3a=0，
把t=
| 6a |
| 6+a |
∵a≠0，∴9a2-108=0，
∴a=±2
| 3 |
所以a=2
| 3 |
所以，存在a，
当a=2
| 3 |
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