题目内容
【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE＝∠AED，设∠DAC＝n.
（1）如图①，当点D在边BC上时，且n等于30°，则∠BAD＝ ，∠CDE＝ ；
（2）如图②，当点D运动到点B左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请在图③中画出图形，并说明理由.
【答案】（1）
；（2）
,理由见解析；（3）,理由见解析
【解析】
（1）如图①，将∠BAC=90°，∠DAC=30°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=45°，根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=105°，在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED=75°，那么∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°；
（2）如图②，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=
.根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACB-∠AED=
，再由∠BAD=∠DAC-∠BAC得到∠BAD=n-90°，从而得出结论∠BAD=2∠CDE；
（3）如图③，在△ABC和△ADE中利用三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=．根据三角形外角的性质得出∠CDE=∠ACD-∠AED=
，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=90°+n，从而得出结论∠BAD=2∠CDE．
解：
（1）∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-30°=60°．
∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=45°+60°=105°．
∵∠DAC=30°，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°．
故答案为60°，30°；
（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：
如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
在△ADE中，∠DAC=n，
∴∠ADE=∠AED=
∵∠ACB=∠CDE+∠AED，
∴∠CDE=∠ACB-∠AED=45°- = 
．
∵∠BAC=90°，∠DAC=n，
∴∠BAD=n-90°，
∴∠BAD=2∠CDE；
（3）∠BAD=2∠CDE，
理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=135°．
在△ADE中，∠DAC=n，
∴∠ADE=∠AED=．
∵∠ACD=∠CDE+∠AED，
∴∠CDE=∠ACD-∠AED=135°- = ．
∵∠BAC=90°，∠DAC=n，
∴∠BAD=90°+n，
∴∠BAD=2∠CDE．
