Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

Answer 1

（1）见解析  （2）AM=1。理由见解析

试题分析：（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，从而可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明。
（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答。　
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM。
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME。
∵点E是AD中点，∴DE=AE。
∵在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，DE=AE，
∴△NDE≌△MAE（AAS）。∴ND=MA。
∴四边形AMDN是平行四边形。
（2）AM=1。理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2。
若平行四边形AMDN是矩形，则DM⊥AB，即∠DMA=90°。
∵∠A=60°，∴∠ADM=30°。∴AM=AD=1。