题目内容
18、如图，在平面直角坐标系中，点A（12，0），K（4，0） 过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．过K点且垂直于x轴的直线与过A点的直线y=2x+b交于点M．（1）试判断△AMN的形状，并说明理由；
（2）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在直线MK上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）△AMN的形状是等腰直角三角形，理由是：由题意得N（0，-4）把A（12，0）代入y=2x+b求出直线AMy=2x-24，求出M（4，-16），根据勾股定理求出AM2、AN2、MN2，得到AN2+MN2=AM2和AN=MN即可；
（2）存在，把A（12，0）代入y=kx-4．求出k，设直线l的解析式为y=$frac{1}{3}$x+b．（Ⅰ）以点E为直角顶点如图1．①根据题意，点M（4，-16）符合要求；②过P作PQ⊥y轴．证Rt△ODE≌Rt△QEP．得到OE=PQ=4，QE=OD．求出OQ=8即可；（Ⅱ）以点D为直角顶点．同理得到P（4，6）、P（4，-3）；综合以上结论即可得出答案．
（2）存在，把A（12，0）代入y=kx-4．求出k，设直线l的解析式为y=$frac{1}{3}$x+b．（Ⅰ）以点E为直角顶点如图1．①根据题意，点M（4，-16）符合要求；②过P作PQ⊥y轴．证Rt△ODE≌Rt△QEP．得到OE=PQ=4，QE=OD．求出OQ=8即可；（Ⅱ）以点D为直角顶点．同理得到P（4，6）、P（4，-3）；综合以上结论即可得出答案．
解答：解：（1）△AMN的形状是等腰直角三角形，
理由是：由题意得N（0，-4）
把A（12，0）代入y=2x+b得b=-24，
∴直线AM为y=2x-24，
当x=4时，y=-16，
∴M（4，-16），
∴AM2=（12-4）2+162=320，
AN2=122+42=160，
MN2=42+（16-4）2=160，
∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，
AN=MN．
∴△AMN是等腰直角三角形．
（2）存在．点P的坐标分别为
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．
理由是：由题意得N（0，-4）
把A（12，0）代入y=2x+b得b=-24，
∴直线AM为y=2x-24，
当x=4时，y=-16，
∴M（4，-16），
∴AM2=（12-4）2+162=320，
AN2=122+42=160，
MN2=42+（16-4）2=160，
∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，
AN=MN．
∴△AMN是等腰直角三角形．
（2）存在．点P的坐标分别为
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．
点评：本题主要考查对等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，图形的平移的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．分类讨论思想的运用．
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