题目内容
【题目】如图，OA＝4，C是射线OA上一点，以O为圆心，OA的长为半径作
使∠AOB＝152°，P是上一点，OP与AB相交于点D，点P′与P关于直线OA对称，连接CP，
尝试：
（1）点P′在所在的圆 （填“内”“上”或“外”）；
（2）AB＝ ．
发现：
（1）PD的最大值为 ；
（2）当
＝2π，∠OCP＝28时，判断CP与所在圆的位置关系探究当点P′与AB的距离最大时，求AP的长．（注：sin76°＝cos14°＝
）
【答案】尝试：（1）上；（2）2
；发现：（1）3；（2）2
．
【解析】
尝试：（1）根据圆的轴对称性，即可得到结论；
（2）如图1，延长AO交
所在圆上的点E，连接BE，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝14°，根据三角函数的定义即可得到结论；
发现：（1）当OP⊥AB时，PD有最大值，在Rt△AOD中解直角三角形即可得到结论；
（2）根据弧长公式求得∠BOP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
探究：作P′E⊥AB于点E，连接P′A，如图2，此时OE⊥AB，求得AE＝
AB＝，根据勾股定理得到OE＝
＝1，AP′＝
，根据轴对称的性质即可得到AP＝AP′＝2．
尝试：（1）∵点P′与P关于直线OA对称，
∴点P′在所在的圆上，
故答案为：上；
（2）如图1，延长AO交所在圆上的点E，
连接BE，则∠ABE＝90°，
∵∠AOB＝152°，OB＝OA，
∴∠BAO＝∠ABO＝14°
∵OA＝4，
∴AE＝2OA＝8，
∴AB＝AEcos14°＝8×
＝2，
故答案为：2；
发现：（1）当OP⊥AB时，PD有最大值，
∵在Rt△AOD中， OA＝4，cos∠OAD＝
，
∴AD＝，
∴OD＝
＝1，
∴PD＝4﹣1＝3，
∴PD的最大值为3，
故答案为：3；
（2）相切，理由如下：
当
＝2π时，
＝2π，
解得：n＝90，
∴∠BOP＝90°，
∵∠AOB＝152°，
∴∠AOP＝62°，
∵∠OCP＝28°，
∴∠OPC＝90°，
∵OP为圆的半径，
∴CP与所在圆相切；
探究：作P′E⊥AB于点E，
∵P′在所在圆上，
∴当P′E过圆心O时，P′E最大，
连接P′A，如图2，此时OE⊥AB，AE＝AB＝，
∵OA＝4，
∴OE＝＝1，
∵OP′＝OP＝4，
∴P′E＝P′O+OE＝5，
∴AP′＝，
∵点P′与P关于直线OA对称，
∴AP＝AP′＝2．
