题目内容

如图，在直角坐标系中，点O为原点，直线y=kx+b与x轴交于点A（3，0），与y轴的正半轴交于点B，tan∠OAB= $数学公式$ ．
（1）求这直线的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转60°后，点B落到点C的位置，求以点C为顶点且经过点A的抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与x轴的另一个交点为点D，与y轴的交点为E．试判断△ODE是否与△OAB相似？如果认为相似，请加以证明；如果认为不相似，也请说明理由．

解：（1）∵直线y=kx+b与x轴交于点A（3，0），
∴OA=3．
∵tan∠OAB= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OB=3 $\text{[math]}$ ，
∴点B的坐标为（0，3 $\text{[math]}$ ），
又∵直线y=kx+b经过点A（3，0）、B（0，3 $\text{[math]}$ ），
代入求出直线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+3 $\text{[math]}$ ，
答：直线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+3 $\text{[math]}$ ．

（2）由题意，可得点C的坐标为（6，3 $\text{[math]}$ ），
设抛物线的解析式是y=a（x-6）²+3 $\text{[math]}$ ，
把A的坐标代入求出a=- $\text{[math]}$ ，
∴所求抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-6）²+3 $\text{[math]}$ ，
答：所求抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-6）²+3 $\text{[math]}$ ．

（3）答：相似．
证明：由（2），抛物线y=- $\text{[math]}$ （x-6）²+3 $\text{[math]}$
与x轴的另一个交点为点D（9，0），与y轴的交点为
E（0，-9 $\text{[math]}$ ）．
∴OD=9，OE=9 $\text{[math]}$ ，
在△ODE与△OAB中，
∵∠DOE=∠AOB=90°，
且OD：OA=OE：OB，
∴△ODE∽△OAB．
分析：（1）求出A（3，0），得到B的坐标，代入解析式即可求出；
（2）由题意得到C的坐标为（6，3 $\text{[math]}$ ），设抛物线的解析式是y=a（x-6）²+3 $\text{[math]}$ ，把A的坐标代入求出a即可；
（3）相似，与x轴的另一个交点为点D（9，0），与y轴的交点为E（0，-9 $\text{[math]}$ ），得出∠DOE=∠AOB=90°，OD：OA=OE：OB，即可判断相似．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．