Question

【题目】定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程．

（1）已知x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，求c的值；

（2）若一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，求证：它的倒方程也一定无解；

（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0（a≠c）与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a和c的值．

Answer 1

【答案】（1）-；（2）见解析；（3）a＝2或a＝﹣2，c＝0

【解析】

（1）先写出x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，然后把x＝2代入cx2+2x+1＝0可求出c的值；

（2）根据判别式的意义，由方程ax2﹣2x+c＝0无解得到ac＞1，再写出一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，计算倒方程的判别式，从而得到结论；

（3）利用倒方程只有一个解可判断倒方程为一元一次方程，则c＝0，解此方程得，把代入ax2﹣2x＝0得，然后解关于a的方程即可．

（1）解：x2+2x+c＝0的倒方程为cx2+2x+1＝0，

把x＝2代入cx2+2x+1＝0得4c+4+1＝0，解得c＝-；

（2）证明：∵一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，

∴△＝（﹣2）2﹣4ac＜0，

∴ac＞1，

一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，

∵△′＝（﹣2）2﹣4ca＝4﹣4ac，

而ac＞1，

∴△′＜0，

∴它的倒方程也一定无解；

（3）一元二次方程ax2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+a＝0，

而倒方程只有一个解，

∴c＝0，则﹣2x+a＝0，解得，

把代入ax2﹣2x＝0得，

而a≠c，

∴a＝2或a＝﹣2．