题目内容
【题目】已知：如图：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，等腰Rt△DEF中，∠FDE=
，DE=3cm。动点D、E始终在边AB上，当点D从A点沿AC方向移动。
（1）在Rt△DEF沿AC方向移动的过程中，F，C两点之间的距离逐渐_______。（填“不变“变大”或“变小”）
（2）当F、C连线与AB平行时，求AD的长。
（3）以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形时，求AD的长
【答案】（1）变小；（2）
;（3）AD=6.7cm或4.2cm.
【解析】
（1）根据题意可知：DF=3cm，DC逐渐变小，再根据勾股定理即可判断；
（2）根据30°所对的直角边是斜边的一半和平行线的性质，可得：AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°，再根据锐角三角函数求出CD，从而求出AD；
（3）设AD=x，根据题意可知：0＜x≤10－3=7，则CD= AC－AD=10－x，再根据勾股定理可得：FC=
，然后根据直角三角形斜边的情况分类讨论，最后利用勾股定理分别求出每种情况中x的值即可.
解：（1）根据题意可知：DF=DE=3cm，DC逐渐变小，
根据勾股定理可得：FC=
∴F，C两点之间的距离逐渐变小，
故答案为：变小；
（2）如下图所示，FC∥AB
∵∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，
∴AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°
在Rt△CFD中，CD=
cm
∴AD=AC－CD=；
（3）设AD=x，根据题意可知：0＜x≤10－3=7，则CD= AC－AD=10－x
根据勾股定理可得：FC=
①若AD为斜边时，
∴AD2=FC2+BC2
∴
解得：
；
②若FC为斜边时，
∴FC2= AD2 +BC2
∴
解得：
；
③若BC为斜边时，
∴BC2= AD2 + FC2
∴
整理得：
∵
∴此方程无解.
综上所述：AD=6.7cm或4.2cm.
