题目内容

【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DE平分∠ADB,∠BDC=∠BCD.

(1)求证:∠1+∠2=90°;
(2)若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F,且∠F=55°,求∠ABC;

(3)若H是BC上一动点,F是BA延长线上一点,FH交BD于M,FG平分∠BFH,交DE于N,交BC于G.当H在BC上运动时(不与B点重合), 的值是否变化?如果变化,说明理由;如果不变,试求出其值.

【答案】
(1)

证明:AD∥BC,

∠ADC+∠BCD=180,

∵DE平分∠ADB,

∠BDC=∠BCD,

∴∠ADE=∠EDB,

∠BDC=∠BCD,

∵∠ADC+∠BCD=180°,

∴∠EDB+∠BDC=90°,

∠1+∠2=90°


(2)

解:∠FBD+∠BDE=90°﹣∠F=35°,

∵DE平分∠ADB,BF平分∠ABD,

∴∠ADB+∠ABD=2(∠FBD+∠BDE)=70°,

又∵四边形ABCD中,AD∥BC,

∴∠DBC=∠ADB,

∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB,

即∠ABC=70°


(3)

解: 的值不变.

证明:在△BMF中,

∠BMF=∠DMH=180°﹣∠ABD﹣∠BFH,

又∵∠BAD=180°﹣(∠ABD+∠ADB),

∠DMH+∠BAD=(180°﹣∠ABD﹣∠BFH)+(180°﹣∠ABD﹣∠ADB),

=360°﹣∠BFH﹣2∠ABD﹣∠ADB,

∠DNG=∠FNE=180°﹣ ∠BFH﹣∠AED,

=180°﹣ ∠BFH﹣∠ABD﹣ ∠ADB,

= (∠DMH+∠BAD),

=2


【解析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质,解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点,并且善于运用角与角之间的联系进行传递.(1)由AD∥BC,DE平分∠ADB,得∠ADC+∠BCD=180,∠BDC=∠BCD,得出∠1+∠2=90°;(2)由DE平分∠ADB,CD平分∠ABD,四边形ABCD中,AD∥BC,∠F=55°,得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB,即∠ABC=70°;(3)在△BMF中,根据角之间的关系∠BMF=180°﹣∠ABD﹣∠BFH,得∠GND=180°﹣∠AED﹣∠BFG,再根据角之间的关系得∠BAD= ﹣∠DBC,在综上得出答案.
【考点精析】本题主要考查了角的平分线和平行线的性质的相关知识点,需要掌握从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线;两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补才能正确解答此题.

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